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GraphicalModels :: gaussianIdeal

gaussianIdeal -- correlation ideal of a Bayesian network of joint Gaussian variables

Synopsis

Description

The ideal corresponding to a conditional independence statement A,B,C (where A,B,C, are disjoint lists of integers in the range 1..n (n is the number of random variables) is the #C+1 x #C+1 minors of the submatrix of the generic symmetric matrix M = (s(i,j)), whose rows are in A union C, and whose columns are in B union C. In general, this ideal need not be prime.

These ideals were first written down by Seth Sullivant, in "Algebraic geometry of Gaussian Bayesian networks". The routines in this package involving Gaussian variables are all based on that paper.
i1 : R = gaussianRing 5;
i2 : G = digraph { {1,{2}}, {2,{3}}, {3,{4,5}},{4,{5}} }

o2 = Digraph{1 => set {2}   }
             2 => set {3}
             3 => set {4, 5}
             4 => set {5}
             5 => set {}

o2 : Digraph
i3 : (globalMarkov G)/print;
{{1, 2}, {4, 5}, {3}}
{{1}, {3, 4, 5}, {2}}
i4 : J = gaussianIdeal(R,G)

o4 = ideal (- s   s    + s   s   , - s   s    + s   s   , - s   s    +
               1,5 2,4    1,4 2,5     1,5 3,4    1,4 3,5     2,5 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
     s   s   , s   s    - s   s   , s   s    - s   s   , s   s    - s   s   ,
      2,4 3,5   1,4 2,3    1,3 2,4   1,4 3,3    1,3 3,4   2,4 3,3    2,3 3,4 
     ------------------------------------------------------------------------
     s   s    - s   s   , s   s    - s   s   , s   s    - s   s   , -
      1,5 2,3    1,3 2,5   1,5 3,3    1,3 3,5   2,5 3,3    2,3 3,5   
     ------------------------------------------------------------------------
     s   s    + s   s   , - s   s    + s   s   , - s   s    + s   s   ,
      1,4 2,3    1,3 2,4     1,5 2,3    1,3 2,5     1,5 2,4    1,4 2,5 
     ------------------------------------------------------------------------
     s   s    - s   s   , s   s    - s   s   , s   s    - s   s   )
      1,3 2,2    1,2 2,3   1,4 2,2    1,2 2,4   1,5 2,2    1,2 2,5

o4 : Ideal of R
A list of independence statements (as for example returned by globalMarkov) can be provided instead of a graph:
i5 : S=pairMarkov G

o5 = {{{1}, {3}, {2}}, {{1}, {4}, {2, 3}}, {{1}, {5}, {4, 2, 3}}, {{2}, {5},
     ------------------------------------------------------------------------
     {4, 1, 3}}, {{2}, {4}, {1, 3}}}

o5 : List
i6 : I = gaussianIdeal(R,G,S)

                                        2                                  
o6 = ideal (s   s    - s   s   , - s   s    + s   s   s    + s   s   s    -
             1,3 2,2    1,2 2,3     1,4 2,3    1,3 2,3 2,4    1,4 2,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                        2        
     s   s   s    - s   s   s    + s   s   s   , - s   s   s    +
      1,2 2,4 3,3    1,3 2,2 3,4    1,2 2,3 3,4     1,5 2,4 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                              
     s   s   s   s    + 2s   s   s   s    - s   s   s   s    -
      1,4 2,4 2,5 3,3     1,5 2,3 2,4 3,4    1,4 2,3 2,5 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                 2              2                       
     s   s   s   s    - s   s   s    + s   s   s    - s   s   s   s    +
      1,3 2,4 2,5 3,4    1,5 2,2 3,4    1,2 2,5 3,4    1,4 2,3 2,4 3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
          2                                                    2        
     s   s   s    + s   s   s   s    - s   s   s   s    - s   s   s    +
      1,3 2,4 3,5    1,4 2,2 3,4 3,5    1,2 2,4 3,4 3,5    1,5 2,3 4,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                             
     s   s   s   s    + s   s   s   s    - s   s   s   s    -
      1,3 2,3 2,5 4,4    1,5 2,2 3,3 4,4    1,2 2,5 3,3 4,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                2                           
     s   s   s   s    + s   s   s   s    + s   s   s    - s   s   s   s    -
      1,3 2,2 3,5 4,4    1,2 2,3 3,5 4,4    1,4 2,3 4,5    1,3 2,3 2,4 4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                             
     s   s   s   s    + s   s   s   s    + s   s   s   s    -
      1,4 2,2 3,3 4,5    1,2 2,4 3,3 4,5    1,3 2,2 3,4 4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                           2                               
     s   s   s   s   , s   s   s   s    - s   s   s    - s   s   s   s    -
      1,2 2,3 3,4 4,5   1,4 1,5 2,4 3,3    1,4 2,5 3,3    1,4 1,5 2,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                     2              2    
     s   s   s   s    + 2s   s   s   s    + s   s   s    - s   s   s    +
      1,3 1,5 2,4 3,4     1,3 1,4 2,5 3,4    1,2 1,5 3,4    1,1 2,5 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2                                                                     
     s   s   s    - s   s   s   s    - s   s   s   s    + s   s   s   s    +
      1,4 2,3 3,5    1,3 1,4 2,4 3,5    1,2 1,4 3,4 3,5    1,1 2,4 3,4 3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                         2                                                  
     s   s   s   s    - s   s   s    - s   s   s   s    + s   s   s   s    +
      1,3 1,5 2,3 4,4    1,3 2,5 4,4    1,2 1,5 3,3 4,4    1,1 2,5 3,3 4,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                               2            
     s   s   s   s    - s   s   s   s    - s   s   s   s    + s   s   s    +
      1,2 1,3 3,5 4,4    1,1 2,3 3,5 4,4    1,3 1,4 2,3 4,5    1,3 2,4 4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                             
     s   s   s   s    - s   s   s   s    - s   s   s   s    +
      1,2 1,4 3,3 4,5    1,1 2,4 3,3 4,5    1,2 1,3 3,4 4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                       2
     s   s   s   s   , s   s   s    - s   s    - s   s   s    + s   s   s   
      1,1 2,3 3,4 4,5   1,3 1,4 2,3    1,3 2,4    1,2 1,4 3,3    1,1 2,4 3,3
     ------------------------------------------------------------------------
     + s   s   s    - s   s   s   )
        1,2 1,3 3,4    1,1 2,3 3,4

o6 : Ideal of R
i7 : codim I

o7 = 4

See also

Ways to use gaussianIdeal :